Koaternioi

Zenbakiak matematikan
Zenbaki multzoak
$\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset ℝ\subset ℂ$ Zenbaki arruntak $\mathbb{N}$ Zenbaki osoak $\mathbb{Z}$ Zenbaki arrazionalak $\mathbb{Q}$ Zenbaki irrazionalak Zenbaki errealak $ℝ$ Zenbaki konplexuak $ℂ$ Zenbaki aljebraikoak Zenbaki transzendenteak
Konplexuen hedadurak
Koaternioiak $ℍ$ Oktonioiak $𝕆$ Zenbaki hiperkonplexuak
Bestelakoak
Zenbaki kardinalak Zenbaki ordinalak Zenbaki lehenak π = 3.141592654… e = 2.718281828… i unitate irudikaria ∞ infinitua Φ = 1,6180339887...
Zenbaki-sistemak
Zenbaki-sistema hamartarra Zenbaki-sistema bitarra Zenbaki-sistema hamaseitarra Zenbaki-sistema zortzitarra

Koaternioiak zenbaki konplexuen hedadura dira. Koaternioien multzoak, $𝐇$ multzoak, lau dimentsioetako bektore espazioa osatzen du, multzo hau ${𝐑}^4$ multzoarekin identifika daiteke, alegia, errealen gaineko 4 dimentsioetako bektore espazioa osatzen dute. Bi elementuren arteko batuketaren definizioa ${𝐑}^4$ espazioko elementuen batuketaren bera da. Koaternioi bati zenbaki erreal bat biderkatzeko ere ${𝐑}^4$ espazioko elementuei eskalarra biderkatzea bezala definitzen da. Bi koaternioi biderkatzeko, ordea, bektore espazioko oinarria behar dugu, oinarriko lau bektoreak behar dira, lau elementu horiek 1, i, j, eta k izenez ezagutzen dira normalean. Eta oinarri hori erabiliz parekatzen dira koaternioien multzoa eta ${𝐑}^4$, hau da, edozein koaternioi a1 + bi + cj + dk konbinazio linealaren bidez adieraz daiteke, non a, b, c eta d zenbaki errealak diren eta 1, i, j eta k oinarrizko koaternioiak diren. Oinarri horretako lehen elementua, 1 elementua, elementu neutroa da eta edozein elementuri 1 elementua biderkatzean elementua ez da aldatzen.

Koaternioien oinarriko beste elementuen arteko biderketek baldintza hauek betetzen dituzte:

$𝐢𝐢\mathbf{=}𝐣𝐣\mathbf{=}𝐤𝐤\mathbf{=}𝐢𝐣𝐤\mathbf{=}\mathbf{-}\mathrm{𝟏}$.

Baldintza hauetatik beste batzuk ondoriozta daitezke, esate baterako, ijk=-1 ekuazioari bi aldeetan k biderkatuz ijkk =-1k lortuko genuke, baina kk =-1 denez, -ij =-k bezala adieraz genezake, edo beste era batera, ij = k.

Laburbilduta, biderketa-taula hau betetzen dute:

	1	i	j	k
1	1	i	j	k
i	i	-1	k	-j
j	j	-k	-1	i
k	k	j	-i	-1

Aipatzekoa da biderketa ez dela trukakorra. Banakortasun legeari esker bi koaternioiren arteko biderketa oinarrizko koaternioien arteko biderketen bidez adieraz daiteke. Biderketaren hedapenak honako espresioa ematen digu:

(a₁ + b₁i + c₁j + d₁k ).(a₂ + b₂i + c₂j + d₂k) =

a₁ a₂ + a₁ b₂i + a₁c₂j + a₁ d₂k + b₁a₂i + b₁b₂ii + b₁c₂ij + b₁d₂ik + c₁a₂j + c₁b₂ji + c₁c₂jj + c₁d₂jk + d₁a₂k + d₁b₂ki + d₁c₂kj + d₁d₂kk

Oinarriko elementuen biderketak aplikatuz,

a₁ a₂ - b₁b₂ - c₁c₂ - d₁d₂ + a₁ b₂i + b₁a₂i + c₁d₂i - d₁c₂i + a₁c₂j + c₁a₂j - b₁d₂j + d₁b₂j + a₁ d₂k + d₁a₂k + b₁c₂k - c₁b₂k

azkenik, elkartze-legeari esker, biderketari dagokion koaternioia honako konbinazio linealak adierazten du:

(a₁ a₂ - (b₁b₂ + c₁c₂ + d₁d₂)) 1 + (a₁ b₂ + b₁a₂ + c₁d₂ - d₁c₂) i + (a₁c₂ + c₁a₂ - b₁d₂ + d₁b₂) j + (a₁ d₂ + d₁a₂ + b₁c₂ - c₁b₂) k

Hainbatetan koaternioiak adierazteko eskalar bat eta bektore bat erabiltzen dira, alegia,

$q=(r,\overrightarrow{v}),q\in 𝐇,r\in 𝐑,\overrightarrow{v}\in {𝐑}^3$

Adierazpide horrekin batuketa eta biderketa honela adieraz daitezke:

$(r_1,{\overrightarrow{v}}_1)+(r_2,{\overrightarrow{v}}_2)=(r_1+r_2,{\overrightarrow{v}}_1+{\overrightarrow{v}}_2)$

eta

$(r_1,{\overrightarrow{v}}_1)(r_2,{\overrightarrow{v}}_2)=(r_1{r}_2-{\overrightarrow{v}}_1\cdot {\overrightarrow{v}}_2,r_1{\overrightarrow{v}}_2+r_2{\overrightarrow{v}}_1+{\overrightarrow{v}}_1\times {\overrightarrow{v}}_2)$

non "·" biderketa eskalarra den eta and "×" bektore biderketa den.

q koaternioiaren norma honela definitzen da:

$\mathbf{|}𝐪\mathbf{|}\mathbf{=}\sqrt{{𝐚}^{\mathrm{𝟐}}\mathbf{+}{𝐛}^{\mathrm{𝟐}}\mathbf{+}{𝐜}^{\mathrm{𝟐}}\mathbf{+}{𝐝}^{\mathrm{𝟐}}}$

Koaternioien biderketak elkartze-legea eta banatze-legea betetzen ditu, baina ez trukatze-legea. Koaternioiek, batuketarekin eta biderketarekin, osatzen duten egitura aljebraikoa zatiketa duen eraztuna da.