Oinarrizko talde

Topologia aljebraikoaren eremu matematikoan, espazio topologiko baten oinarrizko taldea espazioan dauden begizten homotopia bidezko baliokidetasun-klaseen taldea da. Espazio topologikoaren oinarrizko formari, edo zuloei, buruzko informazioa jasotzen du. Oinarrizko taldea lehenengo homotopia-taldea da, sinpleena. Oinarrizko taldea homotopia-inbariante bat da: homotopiari dagokionez baliokide diren espazio topologikoek oinarrizko talde isomorfikoak dituzte. $X$ espazio topologiko baten oinarrizko taldea ${\pi }_1(X)$ notazioaz adierazten da.

Intuizioa

Izan bitez espazio bat (gainazal bat, adibidez), espazioko edozein puntu bat eta puntu horretan hasi eta amaitzen diren begizta (bide) guztiak. Bi begizta konbina daitezke horrela: lehenengo begizta zeharkatu eta amaitzean bigarrena zeharkatu. Bi begizta baliokideak direla esaten da, horietako bat deformatzean bestea lor badaiteke, hautsi gabe. Espazio baten oinarrizko taldea, begiztak konbinatzeko metodo horren bidez eta begizten arteko baliokidetasunaren definizio horretan oinarrituz osatzen diren begizta guztien multzoa da.

Historia

Henri Poincarék 1895ean definitu zuen oinarrizko taldea "Analysis Situs" artikuluan. Kontzeptua Riemann-en gainazalen teorian sortu zen, Bernhard Riemannen, Poincaré-ren eta Felix Kleinen obran. Zenbaki konplexuetako funtzioen monodromia-propietateak deskribatzen ditu, eta gainazal itxien sailkapen topologiko oso bat ematen du.

Definizioa

X espazio topologiko baten adibide bat

Artikulu honetan zehar, X espazio topologiko bat da. Adibide tipiko bat eskuineko irudikoa bezalako gainazala da. Gainera, X-ko $x_0$ puntua oinarri-puntua dela esaten da. Talde-homotopiaren definizioak zera adierazten du: X-ko zenbat kurba deforma daitezkeen batetik bestea lortzeko. Definizio zehatza begizten homotopiaren nozioaren araberakoa da.

Begizten homotopia

X espazio topologikoa izanik, oinarri-puntua $x_0$ duen begizta honako funtzio jarraitua da:

$x_0$$\gamma :[0,1]\to X$

non $\gamma (0)$ iturburu-puntua (begiztaren hasierakoa) eta $\gamma (1)$ helburu-puntua (amaierakoa) $x_0$ puntuaren berdinak diren.

Begizten homotopia

Homotopia bi begizten arteko interpolazio jarraitua da. Zehatzago esanda, $x_0$ oinarri-puntu bereko $\gamma ,{\gamma }^{\prime }:[0,1]\to X$ bi begizten arteko homotopia, horrelako aplikazio jarraitu bat da:

$h:[0,1]\times [0,1]\to X,$

non,

• $h(0,t)=x_0$ den $t\in [0,1]$ guztietarako, hau da, homotopiaren abiapuntua $x_0$ da t guztietarako (denbora-parametro moduan hartu ohi da t).
• $h(1,t)=x_0$ den $t\in [0,1]$ guztietarako, hau da, homotopiaren helburu-puntua $x_0$ da t guztietarako.
• $h(r,0)=\gamma (r),h(r,1)={\gamma }^{\prime }(r)$ den, $r\in [0,1]$ guztietarako.

Halako h homotopia bat existitzen bada, $\gamma$ eta ${\gamma }^{\prime }$ homotopikoak direla esaten da. " $\gamma$ eta ${\gamma }^{\prime }$ homotopikoak dira " erlazioa baliokidetasun-erlazioa da. Ondorioz, honako zatidura-multzoa (baliokidetasun-klaseen multzoa) har daiteke:

.${\pi }_1(X,x_0):=\{x_0\text{ puntuan oinarritutako }\gamma \text{ begizta guztiak }\}/\text{homotopia}$

Zatidura-multzo horri (ondoren deskribatzen den talde-egiturarekin batera) X espazio topologikoaren oinarrizko taldea deitzen zaio $x_0$ oinarri-puntuan. Begizten baliokidetasun-klaseak homotopiarekiko hartzen dira, zatidura-multzo hori erabilgarriagoa eta konputagarriagoa gertatzen delako askotan. Bestela, begizta guztiek osatutako multzoa hartzen da zatidura-multzoan (X-ren begizta-espazioa esaten dena), zenbait helburutarako erabilgarria dena.

Talde-egitura

Begizten batura

Aurreko definizioaren arabera, ${\pi }_1(X,x_0)$ multzo bat besterik ez da. Talde bihurtzen da begiztak kateatzearen ondorioz. Hortik datorkio oinarrizko talde izena. Zehatzago esateko, bi begizta ${\gamma }_0$ eta ${\gamma }_1$ izanik, haien arteko biderketa horrela definitutako begizta da:

${\gamma }_0\cdot {\gamma }_1:[0,1]\to X$

$({\gamma }_0\cdot {\gamma }_1)(t)=\{\begin{array}{cc}{\gamma }_0(2t)& 0\le t\le \frac{1}{2}\\ {\gamma }_1(2t-1)& \frac{1}{2}\le t\le 1.\end{array}$

Hala, ${\gamma }_0\cdot {\gamma }_1$ begiztan aurrena ${\gamma }_0$ begizta zeharkatzen da "abiadura bikoitzarekin", eta gero ${\gamma }_1$ "abiadura bikoitzarekin".

Ondorioz, begizten $[{\gamma }_0]$ eta $[{\gamma }_1]$ bi homotopia-klaseen biderketa definitzen da, $[{\gamma }_0\cdot {\gamma }_1]$. Froga daiteke, biderketa hori ez dagoela ordezkarien aukeraketaren mende eta, beraz, ${\pi }_1(X,x_0)$ multzoan ondo definitutako eragiketa dela. Eragiketa horrek ${\pi }_1(X,x_0)$ multzoa talde bihurtzen du. Haren elementu neutroa begizta konstantea da, $x_0$ puntuan dagoena t parametroaren balio guztietarako (une oro). Begizta baten homotopia baliokodetasun-klase baten alderantzizkoa begizta bera da, baina kontrako noranzkoan zeharkatzen dena. Formalki,

.${\gamma }^{-1}(t):=\gamma (1-t)$

Hiru begizta ${\gamma }_0,{\gamma }_1$ eta ${\gamma }_2$ izanik, honako biderketa

$({\gamma }_0\cdot {\gamma }_1)\cdot {\gamma }_2$

hiru begizten kateatzea (uztartzea) da, hasteko ${\gamma }_0$ zeharkatuz, ondoren ${\gamma }_1$ abiadura laukoitzean eta gero ${\gamma }_2$ abiadura bikoitzean. Modu berean, hiru begizten biderketa moduan sortutako beste begizta honetan,

${\gamma }_0\cdot ({\gamma }_1\cdot {\gamma }_2)$

bide bera zeharkatzen du (ordena berean), baina ${\gamma }_0$ abiadura bikoitzean eta ${\gamma }_1$ eta ${\gamma }_2$ abiadura laukoitzean. Ondorioz, abiadurak desberdinak direnez, bi bideak ez dira berdinak. Elkartze-propietatearen axioma

$[{\gamma }_0]\cdot ([{\gamma }_1]\cdot [{\gamma }_2])=([{\gamma }_0]\cdot [{\gamma }_1])\cdot [{\gamma }_2]$

beraz, zatidura-multzoa homotopiarekiko kontsideratu izanaren mendekoa da. Izan ere, aurreko bi kateatzeak ${\gamma }_0,{\gamma }_1$ eta ${\gamma }_2$ begiztak abiadura hirukoitzarekin zeharkatzen dituen begiztarekin homotopikoak dira. Hortaz, homotopiarekiko baliokide diren oinarrizko begiztak, aurreko eragiketarekin hornituak, ${\pi }_1(X,x_0)$ multzoa talde bihurtzen dute.

Oinarri-puntuaren mendekotasuna

Oinarrizko taldea, oro har, hautatzen den oinarri-puntuaren mendekoa den arren, X espazioa bideen bidez konexua bada (path-connected), isomorfismoari (barne-isomorfismoari) dagokionez oinarri-puntuaren aukeraketak ez du alderik eragingo. Hori dela eta, bideen bidez konexu diren X espazioak adierazteko, autore askok ${\pi }_1(X)$ notazioa erabiltzen dute ${\pi }_1(X,x_0)$ erabili ordez.

Adibideak

Atal honetan, oinarrizko taldeen zenbait adibide aipatzen dira. Hasteko, ${ℝ}^n$ espazio euklidestarrean edo ${ℝ}^n$espazioaren edozein azpimultzo ganbiletan, begizten klase homotopiko bakarra dago, eta, beraz, oinarrizko taldea elementu bakarra duen talde nabaria da. Oro har, izar-eremu guztiek eta uzkurgarri diren eremu guztiek oinarrizko talde nabaria dute. Hala, oinarrizko taldeak ez ditu bereizten espazio horiek.

• Adibideak
• 
  Izar-eremu bat konexua da, edozein begizta eremuaren $x_0$ erdigunera uzkurtu baitaiteke.
• 
  Begizta bat 2-esfera batean (pilota baten gainazalean), puntu batera uzkurtzen
• 
  Zirkuluaren homotopia taldearen elementuak
• 
  Zortziko-irudiaren oinarrizko taldea a eta b bi letra sortzaileeen talde librea da.
• 
  Hiruorriko korapilo bat.

2-esfera

Bideen bidez konexua (path-connected) den espazio baten oinarrizko taldea nabaria bada, guztiz konexua deritzo (ingelesez, simply connected). Adibidez, irudiko $S^2=\{(x,y,z)\in {ℝ}^3\mid x^2+y^2+z^2=1\}$ 2-esfera, eta baita dimentsio handiagoko esfera guztiak ere, guztiz konexuak dira. Irudiak homotopia bat erakusten du, begizta bat begizta konstantera uzkurtuz. Ideia hori $\gamma$ begiztaren irudian ez dauden $(x,y,z)\in S^2$ puntuak dituzten $\gamma$ begizta guztietara egokitu daiteke. Hala ere, begizta batzuetan $\gamma ([0,1])=S^2$ betetzen denez, (Peano-ren kurbaren bidez eraikitzen direnetan, adibidez), froga egiteko topologia aljebraikoko tresnak erabili behar dira, Seifert-van Kampen teorema edo cellular approximation teorema.

Zirkulua

Zirkulua edo 1-esfera, $S^1=\{(x,y)\in {ℝ}^2\mid x^2+y^2=1\}$, ez da guztiz konexua. Homotopia-klase bakoitzean, zirkuluaren inguruan hainbait aldiz biratuz lortzen diren begizta guztiak daude (positiboak edo negatiboak izan daitezke, biraketaren noranzkoaren arabera). m bira eman dituen begizta baten eta n bira eman dituen beste baten biderketaren emaitza m + n bira eman dituen begizta bat da. Beraz, zirkuluaren oinarrizko taldea zenbaki osoen multzoak eta batuketa eragiketak $(\mathbb{Z},+)$ osatzen duten taldearekin isomorfoa da. Hori erabil daiteke Brouwer-en puntu finkoaren teoremaren eta Borsuk-Ulam-en teoremaren frogak 2 dimentsiotan egiteko.

Zortziko-irudia

Zortziko-irudiaren oinarrizko taldea bi letren talde librea da. Hori horrela frogatzen da: bi zirkuluen ebaki-puntua (irudian puntu beltz baten bidez adierazten dena) oinarri-puntu moduan aukeratuz, $\gamma$ begizta oro horrela deskonposa daiteke:

$\gamma =a^{n_1}{b}^{m_1}\cdots a^{n_k}{b}^{m_k}$

non a eta b bira ematen duten bi begiztak diren (irudiko begizta gorria eta urdina) eta $n_1,\dots ,n_k,m_1,\dots ,m_k$ zenbaki osoak berretzaileak diren. ${\pi }_1(S^1)$ ez bezala, zortziko-irudiaren oinarrizko taldea ez da talde abeldarra: a eta b konposatzeko bi moduak ez dira elkarren artean homotopikoak:

$[a]\cdot [b]\ne [b]\cdot [a].$

Oro har, r zirkulu-sortaren oinarrizko taldea r letretako talde librea da.

Bideen bidez konexuak (path-connected) diren X eta Y espazioen puntu bateko baturaren (wedge sum) oinarrizko taldea, haien oinarrizko taldeen biderkadura libre moduan kalkula daiteke:

${\pi }_1(X\vee Y)\cong {\pi }_1(X)*{\pi }_1(Y).$

Horrek aurrekoak orokortzen ditu, zortziko-irudia bi zirkuluren puntu bateko batura baita.

n puntutan zulatutako planoaren oinarrizko taldea n sortzaile dituen talde librea da. i. sortzailea i. zulotik doan begiztaren klasea da, beste zulo batetik pasa gabe.

Grafoak

Oinarrizko taldea egitura diskretuetarako ere defini daiteke. Izan bitez Txantiloi:Nowrap grafo konexua eta V erpinen multzoko v₀ erpina. Txantiloi:Nowrap grafoan begiztak v₀ erpinean hasten eta amaitzen diren zikloak dira. Izan bedi G grafoaren T hedapen-zuhaitz bat. G-ko begizta sinple guztiek ertz bat dute E \ T-n; G-ko begiztak begizta sinpleen kateatzeak dira. Beraz, grafo baten oinarrizko taldea talde libre bat da, eta duen sortzaile kopurua E \ T-n dagoen ertz kopurua da, hau da, Txantiloi:Nowrap ertz.

Demagun, adibidez, G-k 16 erpin dituela, 4 erpineko 4 errenkadetan antolatuta, eta horizontalki edo bertikalki alboko diren erpinak ertzen bidez konektatuta daudela. Hortaz, G-k 24 ertz ditu guztira, eta hedapen-zuhaitz bakoitzean duen ertz-kopurua Txantiloi:Nowrap da; beraz, G-ren oinarrizko taldea 9 sortzaileko talde librea da. Kontuan izan behar da, G grafoak 9 "zulo" dituela, oinarrizko talde bera duen 9 zirkuluko sorta batek bezala.

Korapilo-taldeak

Definizioz, korapilo-taldeak ${ℝ}^3$ espazioan txertatutako K korapilo baten osagarriaren oinarrizko taldea dira. Adibidez, hiruorriko korapiloaren korapilo-taldea $B_3$ adaxka-taldea da, oinarrizko talde ez-abeldarra.

Ikus, gainera

• Topologia

Bibliografia

• Txantiloi:Erreferentzia
• Txantiloi:Erreferentzia
• Txantiloi:Erreferentzia
• Txantiloi:Erreferentzia
• Txantiloi:Erreferentzia
• Txantiloi:Erreferentzia
• Txantiloi:Erreferentzia
• Txantiloi:Erreferentzia
• Txantiloi:Erreferentzia
• Txantiloi:Erreferentzia
• Txantiloi:Erreferentzia
• Peter Hilton eta Shaun Wylie, Teoría de la Homología, Cambridge University Press (1967) [oharra: autore horiek kontrahomologia erabiltzen dute kohomologiarako]
• Txantiloi:Erreferentzia
• Txantiloi:Erreferentzia
• Txantiloi:Erreferentzia
• Txantiloi:Erreferentzia
• Txantiloi:Erreferentzia
• Deane Montgomery eta Leo Zippin, Transformazio Topologikoko Taldeak, Editore Interzientifikoak (1955)
• Txantiloi:Erreferentzia
• Txantiloi:Erreferentzia
• Txantiloi:Erreferentzia
• Txantiloi:Erreferentzia
• Txantiloi:Erreferentzia
• Txantiloi:Erreferentzia
• Txantiloi:Erreferentzia

Kanpo estekak

• Txantiloi:En Fundamental group MathWorld
• Txantiloi:En Intro to the Fundamental Group // Algebraic Topology with @TomRocksMaths Youtube
• Txantiloi:Es Introducción a la Topología Algebraica Youtube
• Txantiloi:En Oinarrizko taldea ulertzeko animazioak Nicolas Delanoue, web.archive.org
• Txantiloi:En Groupoids in Mathematics Ronald Brown, groupoids.org.uk
• Txantiloi:Es Grupos de homotopía Irene Llerena, topologiaparausuarios.es