Alderantzizko elementu

Aljebran, multzoan definitutako eragiketa biderketa denean, alderantzizko elementua elementu baten simetrikoa da; $a$ elementuaren alderantzizko elementua $a^{-1}$ da hau betetzen badu:

$a\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a=e$

$e$ multzoaren elementu neutroa izanik (alegia, 1) eta $a^{-1}=\frac{1}{a}$.

Adibideak

• $2$ zenbakiaren alderantzizkoa zenbaki arrazionalen multzoan $\frac{1}{2}$ edo 0,5 da.
• i zenbaki irudikariaren alderantzizkoa -i da, zeren i·(-i)=1 baita.
• f funtzio baten alderantzizkoa, bijektiboa bada, g funtzioa da, f·g = g·f = I bada, non I identitate funtzioa den.

Eragiketa batuketa denean, aurkako elementu izena ematen zaio.

Elementu simetrikoa

Aljebra abstraktuan, $A$ multzo batean $\circ$ eragiketa definiturik badago, honela adierazita: $(A,\circ )$, $\circ$ eragiketa $A$ multzoko barne-eragiketa izanda:

$\mathrm{\forall }a,b\in A:a\circ b\in A$

eta $e$ elementu neutroa badago,

$\mathrm{\forall }a\in A,\mathrm{\exists }e\in A:a\circ e=e\circ a=a$

Esaten da $a\in A$ elementuak daukala:

elementu simetriko ezker aldetik $\circ$ eragiketarekiko, hau betetzen bada:

$a\in A,\mathrm{\exists }\overrightarrow{a}\in A:\overrightarrow{a}\circ a=e$

elementu simetriko eskuin aldetik $\circ$ eragiketarekiko, hau betetzen bada:

$a\in A,\mathrm{\exists }\overleftarrow{a}\in A:a\circ \overleftarrow{a}=e$

elementu simetrikoa $\circ$ eragiketarekiko, elementu simetriko ezker aldetik eta eskuin aldetik existitzen bada, hau da:

$a\in A,\mathrm{\exists }\overline{a}\in A:\overline{a}\circ a=a\circ \overline{a}=e$

$A$ multzoko elementu simetriko bat $\overline{a}$ simetrikoa da $a$ elementuaren eskuin aldetik eta ezker aldetik.