Matrize diagonal

Aljebra linealean, matrize diagonala matrize karratu bat da, diagonal nagusian ez dauden elementu guztien balioa zero dena. Diagonal nagusiko elementuen balioa edozein izan daiteke, baita zero ere. Beraz, $D=(d_{i,j})$ matrizea diagonala da baldin eta soilik:

$(d_{i,j})=0\mathrm{\forall }i\ne j$ bada. Hau da:

$D=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(d_{11},d_{22},\dots ,d_{nn})=\left(\begin{array}{cccc}{d}_{11}& 0& \cdots & 0\\ 0& d_{22}& \ddots & ⋮\\ ⋮& \ddots & \ddots & 0\\ 0& \cdots & 0& d_{nn}\end{array}\right)$.

Adibidez, honako matrize hau diagonala da:

$\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 4& 0\\ 0& 0& -2\end{array}\right)$

Matrize diagonalaren beste adibide bat unitate matrizea da.

Askotan, matrize diagonala izendatzeko diag(a₁,...,a_n) notazioa erabiltzen da, non a₁,...,a_n diagonal nagusiko elementuak diren, goiko ezkerretik hasita. Hau da, aurreko adibidea diag(1,4,-2) notazioarekin ere idatz daiteke; aldiz, matrize identitateak diag(1,1,...,1) motakoak dira.

Matrize diagonal guztiak simetrikoak eta (goi- eta behe-) triangeluarrak dira; eta, elementuak ℝ edo ℂ gorputzekoak badira, normalak deitzen dira.

Matrize diagonalgarria

Izan bedi $f\in End(V)$. Esaten da $f$ diagonalgarria dela, existitzen bada $f$-ri elkartutako $D$ matrize diagonal bat, edo baliokidea dana, bektore propioz osatutako $V$-ren $\beta$-oinarri bat lor badaiteke, izan ere, kasu horretan $M\text{B}(f)=D$ izango baita.

• $A\in M\text{n}(K)$ matrize karratu diagonalgarria dela diogu $\mathrm{\exists }D\in M\text{n}(K)$ matrize diagonala $A$-rekin antzekoa ($D=P^{-1}*A*P,P\in GL\text{n}(K)$ ) dana. Endomorfismo bati elkartutako matrizeek elkarren artean antzekoak diranez, hau dogu:

$f\in End(V)$

eta

$A\in M\text{n}(K)$

edozein badira:

$f$

diagonalgarria

$⟺A$

diagonalgarria.

Bereziki,

$A\in M\text{n}(K)$

edozein matrize karratu bada,

$B$

diagonalgarria

$⟺B$

matrizea modu naturalean definitzen dauan

$f\text{B}$

endomorfismoa diagonalgarria bada.

$f\in End(V)$

izanik (

$dim(V)=n$

), orduan

$f$

diagonalgarria da bi kasu honeek betetzen dauzanean:

1. $\chi f(x)$ polinomioaren $n$ erroak $K$ gorputzean dagoz. Kasu honetan $\chi f(x)$ $K$-ren gainean banatzen dala esaten da.
2. $\lambda ,f$-ren balio propio guztietarako $dim(V(\lambda ))=m(\lambda )$

Eragiketak matrizeekin

Batuketa eta matrizeen biderketa eragiketak oso errazak dira matrize diagonalekin. Batuketarako:

diag(a₁,...,a_n) + diag(b₁,...,b_n) = diag(a₁+b₁,...,a_n+b_n)

eta matrizeen biderketarako,

diag(a₁,...,a_n) · diag(b₁,...,b_n) = diag(a₁b₁,...,a_nb_n).

diag(a₁,...,a_n) matrize diagonalak alderantzizko matrizea izango du, baldin eta soilik a₁,...,a_n elementuak 0 ez badira. Orduan, hau daukagu

diag(a₁,...,a_n)^-1 = diag(a₁^-1,...,a_n^-1).

Bereziki, matrize diagonalek azpieraztun bat osatzen dute, n×n dimentsioko matrizeen eraztunaren parte dena.