Endomorfismo

Funtzio lineal baten irudikapena

Definizioa:

Endomorfismo bat eremu eta koeremu bera dituen aplikazio lineal bat da. V espazio bektorial baten endomorfismo taldea ($End(V)$), V-tik V-ra doazen aplikazio linealek osatzen dute:

$f\in End(V)\iff \mathrm{\forall }v\in V:(\mathrm{\exists }f(v)\Rightarrow f(v)\in V)$

Propietateak:

• Definizioz, alderantzizko funtzioa duten V-ko endomorfismoek, $GL(V)$ multzoa osatzen dute: $GL(V)=\{f\in End(v):\mathrm{\exists }g\in End(V):f\circ g(v)=g\circ f(v)=v,\mathrm{\forall }v\in V\}$

• $f\in End(V)$ alderanzgarria da baldin eta soilik baldin bere matrize elkartua ($\beta -tik$ $\beta -ra$) alderanzgarria bada
• Hartu V K gorputzaren gainean dagoela definituta. $\lambda \in K$, $f$-ren balio propioa da baldin eta soilik baldin $\mathrm{\exists }v\ne 0\in V:f(v)=\lambda v$

Matrize elkartuak:

Edozein aplikazio linealek matrize elkartuak dauzka bere baitan, eremuko oinarri bat eta koeremuko bat erlazionatzen dituena. Endomorfismoen kasuan, $\beta ⟶\beta$ motako elkartutako matrizeak erabili daitezke funtzioa definitzeko. Honek bisualki asko lagundu dezake. Adibidez, gure funtzioari lotutako matrizea identitate matrizea bada, badakigu funtzioa konstantea dela. Lehen aipatutako propietatean sakonduz, $GL(V)$-ko funtzioei elkartutako matrizeek $GLn(V)$ taldea osatzen dute, hau da, V espazioaren dimentsioa duten matrize alderanzgarrien taldea.

Balio propioak edo autobalioak:

V K gorputzaren gainean definituta egonik, $\lambda \in K$, $f$-ren balio propioa da baldin eta soilik baldin $\mathrm{\exists }v\ne 0\in V:f(v)=\lambda v$.

Adibidez: $f\in End(R^3):f(x,y,z)=(2x,x+y-z,2z)$: Ohartu $f(1,0,1)=(2,0,2)=2(1,0,1)$ delataz.

Gainera, $f(0,1,0)=(0,1,0)=1(0,1,0)$, beraz $\lambda =2$ eta $\lambda =1$ funtzioaren balio propiak dira, eta $(1,0,1),(0,1,0)$ haiei lotutako bektoreak, hurrenez hurren.

Balio propioei lotutako azpiespazio bektorialak:

Hau jakinda, azpiespazio ezberdinak defini ditzakegu, $\lambda$ balioari dagokion f-ren azpiespazio propioak deritzonak:

$V(\lambda )=\{v\in V:f(v)=\lambda v\}$.

Ohartu gure eremu eta koeremua V direnez, $V(\lambda )\le V,$ edozein balio propiorako. Hain zuzen: (1 = V gaineko funtzio konstantea)

$V(\lambda )=\{v\in V:f(v)=\lambda v\}=\{v\in V:f(v)-\lambda v=0\}=\{v\in V:(f-\lambda 1)(v)=0\}=ker(f-\lambda 1)$ eta

$(f-\lambda 1)$ V-ren gaineko endomorfismo bat denez, $V(\lambda )\le V$.

Hartzen badugu $A=\underset{\beta }{M}(f)$ (beta bidezko f-ri elkartutako matrizea), eta $dim(V)=n$:

$\underset{\beta }{M}(f-\lambda 1)=\underset{\beta }{M}(f)-\underset{\beta }{M}(\lambda 1)=\underset{\beta }{M}(f)-\lambda \underset{\beta }{M}(1)=A-\lambda In$.

Hemendik erraz lortu dezakegun edozein azpiespazio propioren dimentsioa:

$dim(V(\lambda ))=dim(ker(f-\lambda 1))=n-dim(Im(f-\lambda 1))=n-rg(A-\lambda In)$

Polinomio karakteristikoa:

Matrize ororekin polinomio karakteristikoa izena duen polinomio bat dago lotuta. Polinomio hori sortzeko arrazonamendu bat dago:

Lehenik, konturatu behar gara edozein $\lambda$ izanik gure $A=\underset{\beta }{M}(f)$ matrizearen balio propioa dela baldin eta soilik baldin hau betetzen bada:

$\mathrm{\exists }X\in \underset{nx1}{M}(K):AX=\lambda X\iff 0=\lambda X-AX=(\lambda In-A)X:X\ne 0\iff BX=0:B=\lambda InX$

sistemak soluzio ez nulurik badu

$\iff detB=0\iff det(\lambda In-A)=0$

,

Matrize baten autobalioak aurkitzeko prozesua.

Orduan, expresio horri polinomio karakteristikoa deituko diogu.

$\underset{A}{\mathrm{X}}(x)=det(xIn-A)$

eta

$\lambda$

polinomio horren erroa bada, orduan A-ren balio propioa da, eta ondorioz endomorfismoarena ere.