Taldeen errepresentazio

Matematikan, aljebrako talde teoriaren adar bat den taldeen errepresentazio teorian, talde errepresentazioa deritzo aztertu nahi den talde abstraktua talde lineal batekin lotzen duen homomorfismo orori. Horrela, talde abstraktuak bektore espazio baten automorfismoen bidez azter daitezke.

Izan ere, taldeen errepresentazio teoriak $G$ talde abstraktuak deskribatzen ditu $V$ $K$-bektore espazioa baten $G{L}_K(V)$ automorfismoen taldearen terminoetan; hau da, espazio bektorialetik espazio bektorial berberera doazen transformazio lineal bijetiboen multzoak aplikazioen konposaketarekin batera eratzen duen taldearen bitartez. Taldearen deskribapen hori, $R:G⟶G{L}_K(V)$ talde homomorfismo baten bitartez lortuko da. Talderen baten gainean horrela definituriko $R$ homomorfismo bat, $G$ taldearen $K$-errepresentazio bat dela esaten da.

Gainera, $V$ $n$ dimentsioko $K$-bektore espazioa bada, $G{L}_K\cong GL(n,K)$ talde isomorfismoa betetzen da, non $GL(n,K)$ $n$ dimentsioko talde lineal orokorra den. Hots, koefizienteak $K$ gorputzean dituzten $n\times n$ dimentsioko matrize alderantzizkagarriek matrizeen biderketarekin batera osatzen duten $GL(n,K)$ taldearen isomorfoa da $G{L}_K(V)$ automorfismoen taldea. Ondorioz, talde lineal orokorrak erabil daitezke talde abstraktuak deskribatzeko. Honela, talde abstraktuko elementuen ordez, matrize alderantzizkagarriak erabil daitezke eta talde abstraktuaren biderketaren ordez matrizeen arteko biderketak.

Taldeen errepresentazioak garrantzitsuak dira, talde teoriako problema asko aljebra linealeko problema bilakatzen dituztelako. Horrela problemak erraztu egiten dira, hobeto ezagutzen baitugu aljebra lineala talde teoria baino. Garrantzitsuak dira fisikan ere, adibidez, sistema fisiko baten simetria-taldeek sistema hori deskribatzen duten ekuazioen soluzioei nola eragiten dien deskribatzen baitute. Kimikan ere, talde errepresentazioak erlaziona daitezke molekulen errotazio simetrikoekin eta islapenekin.

Talde baten errepresentazioa terminoa adiera orokorragoan ere erabiltzen da, talde baten "deskribapena" edozein objektu matematikoren transformazio talde gisa adierazteko. Formalago, errepresentazio bat talde baten elementuak edozein objekturi dagokion automorfismoen taldera daraman homomorfismoa da. Objektua espazio bektoriala bada, orduan errepresentazio lineala dugu. Batzuetan, errealizazioa terminoa erabiltzen da kontzeptu orokorrerako, errepresentazio terminoa errepresentazio linealen kasu berezirako soilik erabiliz. Artikulu honetan talde finituen errepresentazio linealak deskribatzen dira batik bat.

Definizioak

Talde errepresentazioa

Izan bedi $G$ taldea. Izan bitez, baita ere, $K$ gorputz baten gaineko $V$ espazio bektoriala bat eta haren $G{L}_K(V)$ automorfismoen taldea. Orduan, $R:G⟶G{L}_K(V)$ talde homomorfismo bat bada, $R$ homomorfismoa $G$ taldearen $K$-errepresentazio bat da. (Espazio bektorialaren dimentsioa finitua denean, era berean defini daiteke talde errepresentazio bat $G{L}_K(V)$ automorfismoen taldea beharrean $GL(n,K)$ talde lineal orokorra erabilita).

Beraz, $R$ errepresentazio batek talde homomorfismoa izateagatik ondoko propietatea bete behar du:

$R(x\cdot y)=R(x)\cdot R(y)$, $\mathrm{\forall }x,y\in G$ .

$V$ bektore espazioari errepresentazio espazio esaten zaio eta $V$-ren dimentsioari berriz errepresentazioaren dimentsio esaten zaio. Testuinguruarengatik homomorfismoa argi dagoenean ohikoa izaten da $V$ errepresentazio espazioari deitzea errepresentazio. Errepresentazio espazioa $V$ $n$ dimentsio finitukoa denean, bektore espazioaren oinarri bat zehazturik identifikatzen dira $G{L}_K(V)$ taldeko automorfismoak $GL(n,K)$ taldeko matrizeekin.

Errepresentazioaren nukleoa, iruditzat identitate automorfismoa duten elementuek osatzen duten $G$-ren azpitaldea da; hau da, $Ker=\{g\in G|R(g)=i{d}_V\}$. Errepresentazio bat fidela dela esaten da $Ker=\{1_G\}$ denean.

Errepresentazio isomorfoak

$R$ eta $S$ bi talde errepresentazio isomorfoak izateko $\alpha$ bektore espazioen arteko isomorfismoaren bidez bete behar den $R(g)={\alpha }^{-1}\circ S(g)\circ \alpha$ baldintza azaltzen duen diagrama.

$V$

eta

$W$

bi

$K$

-bektore espazio izanik, eta

$R:G⟶G{L}_K(V)$

eta

$S:G⟶G{L}_K(W)$

bi errepresentazio izanik, baliokideak (batzuen arabera antzeko egokiagoa litzateke) edo isomorfoak direla esaten da baldin eta bektore espazioen arteko

$\alpha :V⟶W$

isomorfismo bat badago, zeinak $g\in G$ guztietarako $R(g)={\alpha }^{-1}\circ S(g)\circ \alpha$ automorfismoen arteko berdintza betetzen duen. Bestela ere, gauza bera da $\alpha \circ R(g)=S(g)\circ \alpha$ berdintza betetzea.

Karakterea

Izan bitez, $G$ talde finitua eta $K$, $char(K)=0$ zero karakteristikako gorputza. Orduan, $V$ $n$ dimentsioko $K$-bektore espazioa bada $R:G⟶GL(n,K)$ errepresentazioak induzituriko $\chi :G⟶K$ aplikazio bat defini daiteke honela: $\chi (g)=\text{tr}R(g),\mathrm{\forall }g\in G$, ($\text{tr}$ ikurrak matrizearen aztarna, edo traza, adierazten duelarik). Aplikazio horri, $R$ $K$-errepresentazioak induzituriko $G$-ren karaktere deritzo. Antzeko matrizeek aztarna bera dutenez, errepresentazio baliokideek karaktere bera dutela ondorioztatzen da. Beraz, karakterea klase funtzioa da, hots, $\chi (g^h)=\chi (g),\mathrm{\forall }g,h\in G$ beteko da.

G-inbarianteak eta azpierrepresentazioak

$G$ talde baten, $R:G⟶G{L}_K(V)$, $V$ bektore espazioaren gaineko $K$-errepresentazio bat izanik, $W\le V$ azpiespazioa bada, orduan taldearen ekintzarekiko inbariantea dela esaten da ($G$-inbariantea da laburdura), baldin eta $wR(g)\in W\mathrm{\forall }w\in W,\mathrm{\forall }g\in G$ betetzen bada; hau da, $W$-ko bektoreen irudiek azpiespazioan egoten jarraitzen badute $R(g)$ $V$-ren automorfismo guztietarako. Ondorioz, $R(g)$-ren $W$ azpiespaziorako murrizketa, $R(g{)}_{|W}:W⟶W$ adierazten dena, $W$ bektore espazioaren automorfismoa izango da. Orduan, $R_{|W}:G⟶G{L}_K(W)$ errepresentazioa definitu daiteke $R_{|W}(g)=R(g{)}_{|W}$ betearaziz; $R_{|W}$ errepresentazioari $R$ errepresentazioaren azpierrepresentazio deritzo.

Azpiespazio tribialak, hau da, $V$ eta $\{0_V\}$ azpiespazioak, $G$-inbarianteak dira errepresentazio guztietarako.

Errepresentazio laburgarriak eta laburtezinak

Izan bitez, $G$ taldea eta $R:G⟶G{L}_K(V)$ errepresentazioa. Orduan, errepresentazioa laburgarria dela esango dugu (erreduziblea dela), $V$ bektore espazioaren azpiespazio propioren bat inbariante utziz gero, hau da, $V$ eta $\{0_V\}$ azpiespazio tribialetaz gain besteren bat ere inbariante utziz gero. Bestela, errepresentazio laburtezina (irreduziblea) dela esaten dugu. (Ohartu, 1 mailako errepresentazio guztiak irreduzibleak direla, kasu horretan bektore espazioek ez baitu azpiespazio propiorik).

Talde finituen kasuan, $GL(n,K)$ matrize alderantzizgarrien gaineko $R$ $K$-errepresentazioak erabil ditzakegunez, errepresentazio laburtezinen definizioa era matrizialean adieraz dezakegu, honela:

$R$ errepresentazioa laburtezina izango da, $V$ $K$-bektore espazioaren oinarri bat lor badaiteke $R$ errepresentazioaren matrizea blokeka banatuko duena hurrengo eran, $R(g)=\left(\begin{array}{cc}{R}_1(g)& B(g)\\ 0& R_2(g)\end{array}\right),\mathrm{\forall }g\in G$ non $R_1(g),R_2(g)$ eta $B(g)$ matrize karratuak diren. Orduan, ohartu $R$ errepresentazioa izateagatik $R_1$ eta $R_2$ ere errepresentazioak direla ondorioztatu daitekeela. Izan ere, $g_1,g_2\in G$ taldeko edozein bi elementu harturik, $R$ talde homomorfismoa izateagatik $R(g_1{g}_2)=R(g_1)R(g_2)$ beteko da, hots, $\left(\begin{array}{cc}{R}_1(g_1{g}_2)& B(g_1{g}_2)\\ 0& R_2(g_1{g}_2)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{R}_1(g_1)R_1(g_2)& R_1(g_1)B(g_2)+B(g_1)R_2(g_2)\\ 0& R_2(g_1)R_2(g_2)\end{array}\right)$ eta beraz, $R_1$ eta $R_2$ ere $G$ taldearen $K$-errepresentazioak dira baina $R$ baino maila txikiagokoak.

Errepresentazio guztiz laburgarriak

Gainera, $n$ mailako $R$ errepresentazio laburgarri bat errepresentazio guztiz laburgarria dela esango dugu, errepresentazioaren matrizea $R(g)=\left(\begin{array}{ccc}{R}_1(g)& & 0\\ & \ddots & \\ 0& & R_m(g)\end{array}\right)$ baldin bada $g\in G$ guztietarako non $R_1(g),\dots ,R_m(g)$ matrize karratuei dagozkien $R_1,\dots ,R_m$ errepresentazioak laburtezinak diren; noski $m\le n$. Kasu horretan, $R$ errepresentazioa $R_1,\dots ,R_m$ errepresentazioen batura zuzen gisa banatzen da. Honela adierazten da, $R(g)=R_1(g)⨁\dots ⨁R_m(g),\mathrm{\forall }g\in G$ edo laburturik bestela, $R(g)=\underset{i=1}{\overset{m}{⨁}}{R}_i(g),\mathrm{\forall }g\in G$ . Demagun, gainera, badaudela elkarren baliokideak diren errepresentazio irreduzibleak eta ondorioz soilik $r$ errepresentazio direla guztiz ezberdinak. Orduan, $V$ $K$-bektore espazioaren oinarri aldaketa egokiarekin errepresentazio baliokideak errepresentazio bera bilaka ditzakegu eta $n_1,\dots ,n_r$ baldin badira haietako bakoitza errepikatzen den kopurua: $R(g)=\underset{j=1}{\overset{r}{⨁}}{n}_j{R}_j(g),\mathrm{\forall }g\in G$ idatz dezakegu. Gainera, errepresentazio laburtezin bakoitzari dagokion karakterea ${\chi }_j$ bezala adieraziz gero, $R$ errepresentazioaren $\chi$ karakterea honela lor daiteke: $\chi (g)=\sum _{j=1}^r{n}_j{\chi }_j(g),\mathrm{\forall }g\in G$.

Talde errepresentazioak errepresentazio laburtezinetan deskonposatzeari buruzko emaitza garrantzitsu bat ondokoa da. $K$ gorputzaren karakteristikak $G$ talde finituaren ordena zatitzen ez badu, $G$ taldearen edozein $K$-errepresentazio azpierrepresentazio laburtezinen batura zuzen gisa bana daiteke (ikus Maschke-ren teorema). Bereziki, talde finitu baten $ℂ$ zenbaki konplexuen gaineko edozein errepresentaziok beteko du, zenbaki konplexuen gorputzaren karakteristika, $char(ℂ)=0$ zero baita, eta noski, ez du inoiz talde baten ordena zatituko.

Ohartu, $K$-laburgarritasuna, $K$-laburtezintasuna eta guztizko laburgarritasuna mantendu egiten dela errepresentazio baliokideetarako.

Talde errepresentazioen orokorpenak

• Talde topologikoak: $G$ talde topologiko baten kasuan, $V$ $K$-bektore espazio topologiko bat izanik, $R:G⟶G{L}_K(V)$ talde errepresentazioa errepresentazio jarraitua izango da, baldin eta $\varphi :G\times V⟶V$ , $\varphi (g,v)=R(g)(v)$ aplikazio jarraitua bada.

Adibideak

1. $G$-ren 1 mailako $K$-errepresentazio tribiala deritzogu, $R:G⟶K^{*}$, $g\in G$ guztietarako $R(g)=1$ betetzen duen talde homomorfismoari. (Ohartu, $K^{*}$=$K-\{0\}$ gorputzari batuketarekiko elementu neutroa kendurik biderketarekiko osatzen den taldea dela). Noski, $\chi (g)=1$ ere beteko da $g\in G$ guztietarako.
2. Izan bitez $G$ talde finitua eta $V$ 1 dimentsioko $K$-bektore espazioa, orduan, $G{L}_K(V)\cong GL(1,K)$=$K^{*}$ izango da eta beraz, $R:G⟶K^{*}$ talde homomorfismo bat, $G$-ren 1 mailako $K$-errepresentazio bat dela esango dugu. Ohartu, edozein $g\in G$ harturik, $\chi (g)=trR(g)=R(g)$ beteko dela 1 mailako errepresentazioetarako. Hots, errepresentazioa eta karakterea bat datoz taldeko elementu guztietarako.
3. $G$-ren 1 mailako $K$-errepresentazio batzuen adibide konkretuak ondokoa dira: izan bitez $ℂ$ zenbaki konplexuen gorputza eta $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ talde ziklotomikoa. Orduan, $j=1,...,n$ guztietarako, ${\chi }_j:\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}⟶{ℂ}^{*}$ talde homomorfismoak defini ditzakegu honela, ${\chi }_j(\overline{1})=e^{i(2j\pi )/n}$. Hare gehiago, horrek dira $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ talde ziklotomikoaren $ℂ$-errepresentazio laburtezin (irreduzible) guztiak.
4. Izan bedi, $\tau :G⟶{\mathrm{\Sigma }}_n$ talde homomorfismoa non ${\mathrm{\Sigma }}_n$ $n$ permutazioz osaturiko taldea den. Orduan, $\tau$ $K$-errepresentazio bat bezala uler daiteke honela: Izan bitez $K$ gorputza eta $n$ dimentsioko $V$ $K$-bektore espazioa $\{v_1,v_2,...,v_n\}$ bere $K$-oinarri bat delarik. Defini dezagun ondoko aplikazioa, $\begin{array}{cc}{R}_{\tau }(g):& V⟶V\\ & v_i\mapsto v_{i^{\tau (g)}}\\ \end{array}$, hau da, oinarriko bektoreak $\tau (g)$ permutazioen bidez honela berrantolatuko dituen aplikazioa; $v_i{R}_{\tau }(g)=v_j$ izango da $j=i^{\tau (g)}$ delarik $i=1,...,n$ guztietarako. Horrela, $R_{\tau }(g)$ bektore espazioaren automorfismoa izateko naturalki definitzen da $v\in V$ bektore bakoitzeko $v=k_1{v}_1+...+k_n{v}_n$ bektorearen oinarriaren araberako adierazpena izanik; $v{R}_{\tau }(g)=k_1(v_1)R_{\tau }(g)+...+k_n(v_n)R_{\tau }(g)$. Gainera, erraz ikus daiteke $R_{\tau }$ ere talde homomorfismoa dela. Izan ere, $g_1,g_2\in G$ taldeko bi elementu hartuz gero, $v_i$ zehazturik dugun bektore espazioaren oinarriko edozein bektore izanik, $\begin{array}{cc}{v}_i{R}_{\tau }(g_1{g}_2)& =v_{i^{\tau (g_1{g}_2)}}=v_{i^{(\tau (g_1)\circ \tau (g_2))}}\\ & =v_{{\left(i^{\tau (g_1)}\right)}^{\tau (g_2)}}=\left(v_{i^{\tau (g_1)}}\right)R_{\tau }(g_2)\\ & =((v_i)R_{\tau }(g_1))R_{\tau }(g_2)=v_i{R}_{\tau }(g_1)R_{\tau }(g_2).\\ \end{array}$ Hau da, $R_{\tau }(g_1{g}_2)=R_{\tau }(g_1)R_{\tau }(g_2)$ betetzen da $g_1,g_2\in G$ guztietarako eta ondorioz talde homomorfismoa da. Beraz, $R_{\tau }:G⟶G{L}_K(V)$ talde homomorfismoa definitu dugu, zeinari $G$ taldearen $K$-errepresentazio permutazionala deitzen zaion. Gainera, ohartu $R_{\tau }(g)$ automorfismo bakoitzari dagokion $GL(n,K)$ talde lineal orokorreko matrizea, hain zuzen ere, $\tau (g)$ permutazioari dagokion permutazio matrizea dela. Matrize honek, 1 bat eta bakarra du errenkada eta zutabe bakoitzean, gainontzeko elementuak aldiz 0-ak dira. Beraz, ondokoa izango da errepresentazioaren ${\chi }_{\tau }$ karakterea: ${\chi }_{\tau }(g):=\{\begin{array}{cc}n& g\in \text{ ker }\tau \text{, baldin bada,}\\ \pi (\tau (g))& \text{bestela,}\end{array}$ non $\pi (\tau (g))=|\{i|i^{\tau (g)}=i,1\le i\le n\}|$ aplikazioa den, hau da, $\tau (g)$ permutazioak finko uzten duen letra kopurua zehazten du $\pi$ aplikazioak.
5. $G$ talde baten $K$-errepresentazio permutazional baten adibide konkretu bat $\rho$ $K$-errepresentazio erregularra da, $G$ taldearen eskumako errepresentazio erregularrak sorturikoa. Explizituago, izan bedi $\begin{array}{cc}\tau :& G⟶{\mathrm{\Sigma }}_G\\ & x⟼{\tau }_x\\ \end{array}$ non $\begin{array}{cc}{\tau }_x:& G⟶G\\ & g⟼gx\\ \end{array}$ aplikazioa taldeko elementuen permutazioa den. Berehalakoa da, $x\in G$ taldeko elementu guztierako ${\tau }_x\in {\mathrm{\Sigma }}_G$ betetzen dela, eta beraz, aplikazioa ondo definiturik dagoela. Izan ere, argi dago $G$ taldea izateagatik, $(g){\tau }_x=gx\in G$ eta ondo definiturik dagoela. Gainera, ${\tau }_x$-ren bidezko irudi bera duten $y,z\in G$ taldeko bi elementu harturik, $\begin{array}{cc}(g_1){\tau }_x=(g_2){\tau }_x& ⟹g_{1}x=g_{2}x⟹g_{1}x{x}^{-1}=g_{2}x{x}^{-1}⟹g_1=g_2\end{array}$ betetzen denez, aplikazioa injektiboa da. Horretaz gain, aplikazioa supraiektiboa ere badela ikusteko, nahikoa da ohartzea $y\in G$ taldeko elementu bat hartuz gero, $y{x}^{-1}\in G$ elemetuaren irudia izango dela; hau da, $\left(y{x}^{-1}\right){\tau }_x=y{x}^{-1}x=y$ betetzen dela. Beraz, ${\tau }_x$ aplikazio bijektiboa da eta ondorioz ${\tau }_x\in {\mathrm{\Sigma }}_G$ dugunez, ondo definiturik dago $\tau$ aplikazioa. Gainera, erraz ikus daiteke $\tau$ talde homomorfismoa dela, izan ere, $x,y,z\in G$ taldeko elementu oro harturik, $\begin{array}{cc}{z}^{\tau (xy)}& =z^{{\tau }_{xy}}=zxy=(zx)y=(zx){\tau }_y\\ & =((z){\tau }_x){\tau }_y=(z)({\tau }_x\circ {\tau }_y)=z^{(\tau (x)\circ \tau (y))}\\ \end{array}$betzen baita, hots, $\tau (xy)=\tau (x)\circ \tau (y)$ beteko da $x,y\in G$ taldeko elementu guztietarako eta ondorioz, $\tau$ talde homomorfismoa da. Orain, izan bitez $K$ gorputza eta $|G|$ dimentsioko $V$ $K$-bektore espazioa $\{v_g|g\in G\}$ bektore espazioaren $K$-oinarri bat delarik, $G$ taldearen bidez indekazaturik dagoena. Orduan, errepresentazio erregularra honela definitzen da, $\begin{array}{cc}\rho :& G⟶G{L}_K(V)\\ & x⟼\rho (x)\\ \end{array}$ non aplikazioaren irudiko automorfismoak $\begin{array}{cc}\rho (x):& V⟶V\\ & v_g⟼v_{gx}\\ \end{array}$diren. Errepresentazio erregularrak induzituriko karakterea ${\rho }_G$ bidez adierazten da eta ${\rho }_G:=\{\begin{array}{cc}|G|& g=1_G\text{, bada}\\ 0& \text{bestela,}\end{array}$ dira bere balioak, ez baitago talde batean neutroa ez den elementurik beste elementuren batekin biderkaturik elementua finko uzten duenik.
6. Izan bitez $R_1$ eta $R_2$ $G$ taldearen $K$-errepresentazioak $V$ eta $W$ bektore espazioen gainean hurrenez hurren. Gainera, $R_1$ eta $R_2$ errepresentazioen karaktere induzituak ${\chi }_1$ eta ${\chi }_2$ diren hurrenez hurren. Orduan:
   • Bektore espazioen $V⨁W$ batura zuzenaren gaineko $G$ taldearen $K$-errepresentazioa sor daiteke honela: $R:G⟶G{L}_K(V⨁W)$ talde homomorfismoa, zeina $g\in G$ taldeko elementu bakoitzerako honela definitzen den;$\begin{array}{cc}R(g)=R_1(g)⨁R_2(g):& V⨁W⟶V⨁W\\ & (v,w)R(g)=(v{R}_1(g),w{R}_2(g))\\ \end{array}$. Gainera, $R$ errepresentazioak induzituriko karakterea jatorrizko errepresentazioek induzituriko karaktereen batura da, hots, $\chi ={\chi }_1+{\chi }_2$.
   • Bektore espazioen $V⨂W$ biderkadura tentsorialaren gaineko $G$ taldearen $K$-errepresentazioa sor daiteke honela: $R:G⟶G{L}_K(V⨂W)$ talde homomorfismoa, zeina $g\in G$ taldeko elementu bakoitzerako honela definitzen den;$\begin{array}{cc}R(g)=R_1(g)⨂R_2(g):& V⨂W⟶V⨂W\\ & (v\otimes w)R(g)=v{R}_1(g)\otimes w{R}_2(g)\\ \end{array}$ eta gainera, $R$ errepresentazioak induzituriko karakterea jatorrizko errepresentazioek induzituriko karaktereen biderketa da, hots, $\chi ={\chi }_1{\chi }_2$.
7. Izan bedi, $G=\{1,-1,i,-i\}\subseteq ℂ$ taldea zenbaki konplexuen ohiko biderketarekin. Orduan, $R:G⟶GL(2,ℂ)$ errpresentazioa defini dezakegu honela: $R(1)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$, $R(-1)=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$, $R(i)=\left(\begin{array}{cc}i& 0\\ 0& -i\end{array}\right)$ eta $R(-i)=\left(\begin{array}{cc}-i& 0\\ 0& i\end{array}\right)$. Ohartu, $R$ errepresentazioa guztiz laburgarria dela eta beraz, $R(g)=R_1(g)⨁R_2(g)$ batura zuzen bezala adieraz dezakegula $g\in G$ guztietarako. Batura zuzenean agertzen diren errepresentazioak ondokoak dira: $R_1(1)=1$, $R_1(-1)=-1$, $R_1(i)=i$ eta $R_1(-i)=-i$; eta, $R_2(1)=1$, $R_2(-1)=-1$, $R_2(i)=-i$ eta $R_2(-i)=i$ lehen mailako errepresentazio irreduzibleak. Gainera, $R$ errepresentazioa $P=\left(\begin{array}{cc}1& i\\ 1& -i\end{array}\right)$ matrizearekin transformatuz gero, $R^{\prime }:G⟶GL(2,ℝ)$ errpresentazio baliokidea lortuko dugu: $R^{\prime }(1)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$, $R^{\prime }(-1)=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$, $R^{\prime }(i)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$ eta $R^{\prime }(-i)=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$. Ohartu, $R^{\prime }$ errepresentazioaren kasuan irudi denak direla matrize errealak. Karaktereaari dagokionez, ${\chi }_R={\chi }_{R^{\prime }}$ beteko da noski, $R$ eta $R^{\prime }$errepresentazio balikideak izateagatik: ${\chi }_R(1)=2$, ${\chi }_R(-1)=-2$ eta ${\chi }_R(i)={\chi }_R(-i)=0$ direlarik.

Ikus, gainera

• Errepresentazioaren teoria
• Errepresentazio teorema
• Itôren teorema
• Maschke-ren teorema
• Zenbakizko analisi
• Aljebra unibertsala

Apunteak

1. Group representation theory, Lecture Notes. Travis Schedler https://www.imperial.ac.uk/people/t.schedler/document/8765/lecture-notes/?lecture-notes.pdf
2. Lecture notes: Basic group and representation theory; Thomas Willwacher (February 27, 2014) https://people.math.ethz.ch/~wilthoma/docs/grep.pdf
3. "1.4: Representations". Chemistry LibreTexts. 2019-09-04. Retrieved 2021-06-23.

Bibliografia

• Burrow, M. (2014). Representation theory of finite groups. Courier Corporation. ISBN 0486145077, 9780486145075
• Alperin, J. L.. Local Representation Theory: Modular Representations as an Introduction to the Local Representation Theory of Finite Groups. Cambridge University Press, 1986. ISBN 978-0-521-44926-7..
• Bargmann, V. «Irreducible unitary representations of the Lorenz group». Annals of Mathematics, 48, 3, 1947, p. 568–640. DOI: 10.2307/1969129..
• Borel, Armand. Essays in the History of Lie Groups and Algebraic Groups. American Mathematical Society, 2001. ISBN 978-0-8218-0288-5..
• Borel, Armand; Casselman, W. Automorphic Forms, Representations, and L-functions. American Mathematical Society, 1979. ISBN 978-0-8218-1435-2..
• Curtis, Charles W.; Reiner, Irving. Representation Theory of Finite Groups and Associative Algebras. John Wiley & Sons (Reedition 2006 by AMS Bookstore), 1962. ISBN 978-0-470-18975-7..
• Gelbart, Stephen «An Elementary Introduction to the Langlands Program». Bulletin of the American Mathematical Society, 10, 2, 1984, p. 177–219. DOI: 10.1090/S0273-0979-1984-15237-6..
• Folland, Gerald B. A Course in Abstract Harmonic Analysis. CRC Press, 1995. ISBN 978-0-8493-8490-5..
• Fulton, William; Harris, Joe. Representation theory. A first course. 129. Nova York: Springer-Verlag, 1991. MR 1153249, ISBN 978-0-387-97527-6. ISBN 978-0-387-97495-8..
• Goodman, Roe; Wallach, Nolan R. Representations and Invariants of the Classical Groups. Cambridge University Press, 1998. ISBN 978-0-521-66348-9..
• James, Gordon; Liebeck, Martin. Representations and Characters of Finite Groups. Cambridge: Cambridge University Press, 1993. ISBN 978-0-521-44590-0..
• Hall, Brian C. Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction. 222. 2nd. Springer, 2015. ISBN 978-3319134666.
• Helgason, Sigurdur. Differential Geometry, Lie groups and Symmetric Spaces. Academic Press, 1978. ISBN 978-0-12-338460-7.
• Humphreys, James E. Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. Birkhäuser, 1972a. ISBN 978-0-387-90053-7..
• Humphreys, James E. Linear Algebraic Groups. 21. Berlin, New York: Springer-Verlag, 1972b. ISBN 978-0-387-90108-4.
• Jantzen, Jens Carsten. Representations of Algebraic Groups. American Mathematical Society, 2003. ISBN 978-0-8218-3527-2..
• Kac, Victor G. «Lie superalgebras». Advances in Mathematics, 26, 1, 1977, p. 8–96. DOI: 10.1016/0001-8708(77)90017-2..
• Kac, Victor G. Infinite Dimensional Lie Algebras. 3rd. Cambridge University Press, 1990. ISBN 978-0-521-46693-6..
• Knapp, Anthony W. Representation Theory of Semisimple Groups: An Overview Based on Examples. Princeton University Press, 2001. ISBN 978-0-691-09089-4..
• Kim, Shoon Kyung. Group Theoretical Methods and Applications to Molecules and Crystals: And Applications to Molecules and Crystals. Cambridge University Press, 1999. ISBN 978-0-521-64062-6..
• Kostrikin, A. I.; Manin, Yuri I. Linear Algebra and Geometry. Taylor & Francis, 1997. ISBN 978-90-5699-049-7..
• Lam, T. Y. «Representations of finite groups: a hundred years». Notices of the AMS, 45, 3,4, 1998, p. 361–372 (Part I), 465–474 (Part II)..
• Yurii I. Lyubich. Introduction to the Theory of Banach Representations of Groups. Translated from the 1985 Russian-language edition (Kharkov, Ukraine). Birkhäuser Verlag. 1988.
• Mumford, David; Fogarty, J.; Kirwan, F. Geometric invariant theory. 34. 3rd. Berlin, New York: Springer-Verlag, 1994. ISBN 978-3-540-56963-3.; MR 0719371 (2nd ed.); MR 1304906(3rd ed.)
• Olver, Peter J. Classical invariant theory. Cambridge: Cambridge University Press, 1999. ISBN 978-0-521-55821-1..
• Peter, F.; Weyl, Hermann «Còpia arxivada». Mathematische Annalen, 97, 1, 1927, p. 737–755. Arxivat de l'original el 2014-08-19. DOI: 10.1007/BF01447892 [Consulta: 14 octubre 2021]..
• Pontrjagin, Lev S. «The theory of topological commutative groups». Annals of Mathematics, 35, 2, 1934, p. 361–388. DOI: 10.2307/1968438..
• Sally, Paul; Vogan, David A. Representation Theory and Harmonic Analysis on Semisimple Lie Groups. American Mathematical Society, 1989. ISBN 978-0-8218-1526-7..
• Serre, Jean-Pierre. Linear Representations of Finite Groups. Springer-Verlag, 1977. ISBN 978-0387901909..
• Sharpe, Richard W. Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program. Springer, 1997. ISBN 978-0-387-94732-7..
• Simson, Daniel; Skowronski, Andrzej; Assem, Ibrahim. Elements of the Representation Theory of Associative Algebras. Cambridge University Press, 2007. ISBN 978-0-521-88218-7..
• Sternberg, Shlomo. Group Theory and Physics. Cambridge University Press, 1994. ISBN 978-0-521-55885-3..
• Tung, Wu-Ki. Group Theory in Physics. 1st. New Jersey·London·Singapore·Hong Kong: World Scientific, 1985. ISBN 978-9971966577.
• Weyl, Hermann. Gruppentheorie und Quantenmechanik. The Theory of Groups and Quantum Mechanics, translated H.P. Robertson, 1931. S. Hirzel, Leipzig (reprinted 1950, Dover), 1928. ISBN 978-0-486-60269-1..
• Weyl, Hermann. The Classical Groups: Their Invariants and Representations. 2nd. Princeton University Press (reprinted 1997), 1946. ISBN 978-0-691-05756-9..
• Wigner, Eugene P. «On unitary representations of the inhomogeneous Lorentz group». Annals of Mathematics, 40, 1, 1939, p. 149–204. DOI: 10.2307/1968551..