Funtzio injektibo

Funtzio injektiboren adibidea.

Matematikan, funtzio injektiboa $f:X\to Y$funtzio bat da, $Y$-ko (irudi-multzoa) elementu bakoitzari gehienez $X$-ko (definizio-eremua) elementu bat esleitzen diona.

Horrela, esaterako, $f:ℝ\to ℝ$ zenbaki errealen funtzioa: $f(x)=x^2$, ez da injektiboa, zeren 4 balioa bi kasutan lor baitaiteke: $f(2)$ eta $f(-2)$. Baina, definizio-eremua zenbaki positibotara murrizten bada, $g:{ℝ}^{+}\to {ℝ}^{+}$ funtzio berri bat lortuz, orduan bada funtzio injektiboa.

Definizio formala

Hizkuntza zehatz batean, $f:X\to Y$ funtzio bat injektiboa da hauetako baieztapen baliokide bat betetzen denean:

• $x_1,x_2$ $X$ multzoko elementuak badira, non $f(x_1)=f(x_2)$ den, ezinbestez $x_1=x_2$ betetzen da.
• $x_1,x_2$ $X$ multzoko elementu desberdinak badira, ezinbestez $f(x_1)\ne f(x_2)$ betetzen da.

Sinbolikoki, $$\mathrm{\forall }a,b\in X,f(a)=f(b)\Rightarrow a=b,$$ eta hau, logikoki, bere kontrajarriaren baliokidea da, $$\mathrm{\forall }a,b\in X,a\ne b\Rightarrow f(a)\ne f(b).$$ Diagrama hauek funtzio injektiboei dagozkie:

Kardinalitatea eta injektibitatea

Izan bitez A eta B bi multzo. A-tik B-rako funtzio injektiboa bat existitzen bada $f:A\to B$ , 2 multzo horien kardinalek erlazio hau betetzen dute:

$card(A)\le card(B)$

Gainera, B-tik A-rako funtzio injektibo bat existitzen bada $g:B\to A$ , orduan froga daiteke existitzen dela A-tik B-rako bijekzio bat.

Injektibitatea euklidear espazioan

$𝐟:\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n\to {ℝ}^n$ funtzioa izanik, zeina diferentziagarria den eta jarraia n dimentsioko Euklidear espazioko eremu batean, beharrezko nahikoa baldintza ezar daitezke funtzio hori injektiboa den ala ez erabakitzeko. Alderantzizko funtzioaren teoremak nahikoa ez den baldintza bat ematen du funtzio diferentziagarri bat lokalki injektiboa den jakiteko:

$\det D𝐟\ne 0$ non $D𝐟$ funtzioaren matrize jakobinoa den.

Baldintza hori ez da nahikoa funtzioa injektiboa den edo ez esateko (izatez, ez da beharrezko baldintza ere). Nahikoa diren baldintzak aurkitzeko, desplazamendu bektorea definitzen da, funtzioaren ondorengo espazio bektorialari lotua:

$\underset{𝐱\in \overline{\mathrm{\Omega }}}{\max }\Vert D𝐮(𝐱)\Vert =\underset{𝐱\in \mathrm{\Omega }}{\sup }\Vert D𝐮(𝐱)\Vert <c(\mathrm{\Omega })\le 1$ non $\overline{\mathrm{\Omega }}$, $\mathrm{\Omega }$ eremuaren itxitura den.

Orduan funtzio injektiboa izango da; froga daiteke $c(\mathrm{\Omega })=1$ dela baldin eta $\mathrm{\Omega }$ eremua ganbila bada, eta $c(\mathrm{\Omega })<1$ behar dela izan baldin eta eremua ez bada ganbila.

Adibideak

• Edozein $X$ multzorako eta edozein $S$ azpimultzorako, hau da, $S\subseteq X,$ bere funtzioa $S\to X$ (edozein $s\in S$ elementu bere buruari bildatzen diona) injektiboa da. Bereziki, identitate funtzioa Txantiloi:Nowrap beti da injektiboa (egiatan bijektiboa da).
• Funtzio baten definizio-eremua multzo hutsa bada, orduan funtzio hutsa izango da, zeina injektiboa da.
• Funtzio baten definizio eremuak soilik elementu bat badu (alegia, ale bakarreko multzoa da), orduan funtzioa beti injektiboa da.
• $f:ℝ\to ℝ$ funtzioa honela definituta: $f(x)=2x+1$ injektiboa da.
• $g:ℝ\to ℝ$ funtzioa honela definituta: $g(x)=x^2$ ez da injektiboa, zeren, adibidez, $g(1)=1=g(-1).$ baita. Hala ere, $g$ berriro definitzen bada, bere definizio-eremua zenbaki erreal ez negatiboak [0,+∞) izanik, orduan $g$ injektiboa da.
• Funtzio esponentziala $\exp :ℝ\to ℝ$ honela definituta: $\exp (x)=e^x$ injektiboa da (baina ez supraiektiboa, zenbaki negatiboak sortzen ez duelako, x-ren inolako balioarekin erlazio ez dutenak).
• Logaritmo nepertarra. ln : (0, ∞) → R funtzioa honela definituta: x ↦ ln x injektiboa da.
• g : R → R funtzioa honela definituta: g(x) = xⁿ − x ez da injektiboa, zeren, adibidez, g(0) = g(1) baita.

Ikus, gainera

• Funtzio bijektiboa
• Funtzio supraiektiboa
• Bana-banako korrespondentzia