Funtzio supraiektibo

Matematikan, funtzio supraiektibo bat $f:X\to Y$ funtzio bat da, zeinak $Y$ multzoko (koeremuko) elementu guztiei gutxienez $X$ multzoko (eremuko) elementu bat esleitzen zaien. Beste era batean esanda, koeremuko elementu bakoitza, funtzio beraren eremuko elementuren baten irudia da; edo $Y$-ko elementu guztiek aurreirudia dute $X$ multzoan, eta ez da zertan bakarra izan.

Supraiektibo terminoa Nicolas Bourbakik, XX. mendeko matematikari nagusiki frantsesen talde batek, erabili zuen lehenengoz, baita injektibo eta bijektibo hitzak ere. Sur hitz frantsesak gainean esan nahi du; izan ere, funtzio supraiektibo baten irudiak koeremua guztiz estaltzen du.

Edozein funtzio bihur daiteke supraiektibo, koeremua murrizten bada eremuaren irudira. Funtzio supraiektibo guztiek alderantzizkoa dute eskumatik, eta eskumatik alderanzgarria diren funtzio guztiak derrigorrez supraiektiboak dira. Gainera, bi funtzio supraiektiboen konposaketa supraiektiboa da beti, eta edozein funtzio deskonposa daiteke supraiekzio eta injekzio batean.

Definizioa

Funtzio bat supraiektiboa da, baldin eta eremuaren irudiak koeremu osoa hartzen badu. Hau da, $f:X\to Y$ funtzioan $f(X)=Y$ baldin bada, edo, matematikoki adierazita,

$\mathrm{\forall }y\in Y\mathrm{\exists }x\in X:f(x)=y$

• 
  X-tik Y-ra doan aplikazio supraiektiboa (baina injektiboa ez dena).
• 
  X-tik Y-ra doan aplikazio supraiektiboa (eta baita injektiboa ere).

Kardinalitatea eta supraiektibitatea

Izan bitez A eta B bi multzo. A-tik B-rako funtzio supraiektibo bat existitzen bada $f:A\to B$ , 2 multzo horien kardinalek erlazio hau betetzen dute:

$card(A)\ge card(B)$

Gainera, B-tik A-rako funtzio supraiektibo bat existitzen bada $g:B\to A$ , orduan froga daiteke (Cantor-Bernstein-Schröder-en teoremaren bidez) existitzen dela A-tik B-rako bijekzio bat.

Adibideak

• Edozein $X$ multzorako, $id$_x identitate funtzioa $X$-n supraiektiboa da.
• $f:\mathbb{Z}⟶\{0,1\}$ funtzioa, horrela definituta: $f(n)=nmod2$ ^modulua (hau da, zenbaki bikoitiak $0$-ra doaz eta zenbaki bakoitiak $1$-era), supraiektiboa da.
• $f:ℝ⟶ℝ$ funtzioa, horrela definituta: $f(x)=2x+1$ supraiektiboa da (baita bijektiboa ere), $y$ zenbaki erreal bakoitzarentzako, existitzen delako $x$ bat non $f(x)=y$ eta $x=(y-1)/2$ den.
• $f:ℝ⟶ℝ$ funtzioa, horrela definituta: $f(x)=x^3-3x$ supraiektiboa da, edozein $y$ zenbaki errealen aurreirudia $x^3-3x-y=0$ polinomio kubikoaren soluzioa delako, eta koefiziente errealeko polinomio kubiko guztiek gutxienez erro erreal bat dute. Alabaina, funtzio hau ez da injektiboa (ezta bijektiboa ere); zeren eta, adibidez, $y=2$-ren aurreirudia $\{x=-1,x=2\}$ da. (Izan ere, $-2\le y\le 2$ tarteko elementuek aurreirudi bat baino gehiago dute).
• $g:ℝ⟶ℝ$ funtzioa, horrela definituta: $g(x)=x^2$, ez da supraiektiboa, ez dagoelako $x$ zenbaki errealik $x^2=-1$ betetzen duenik. Halere, $g:ℝ⟶ℝ$_{$\ge 0$} funtzioa, horrela definituta: $g(x)=x^2$ (koeremu murriztuan) supraiektiboa da, $Y$ koeremu positiboko $y$ bakoitzarentzat existitzen delako $x$ bat $X$ eremu errealean non $x^2=y$ den.
• Logaritmo naturalen funtzioa $\ln :(0,+\mathrm{\infty })⟶ℝ$ supraiektiboa da, eta baita bijektiboa ere (zenbaki erreal positiboen multzotik zenbaki erreal guztien multzora doana). Bere alderantzizkoak, funtzio esponentzialak, eremu bezala zenbaki errealen multzoa badu, ez da supraiektiboa (bere definizio-eremua zenbaki erreal positiboen multzoa baita).
• Matrize baten esponentziala ez da supraiektiboa $n\times n$-ko matrizeetatik bere burura doan aplikazio bezala kontsideratzen badugu. Nolanahi ere, normalean $n\times n$-ko matrizeetatik n mailako talde lineal orokorrera definituta dago (hau da, $n\times n$-ko matrize alderanzgarrien taldera). Definizio horretan oinarrituz, matrize baten esponentziala supraiektiboa da matrize konplexuentzat, baina ez matrize errealentzat.
• $A\times B$-ko biderketa kartesiarretik bere faktore baterainoko proiekzioa supraiektiboa da, beste faktorea hutsik egon ezean.
• 3D-ko bideo-joko batean, bektoreak 2D-ko pantaila lau batean proiektatzen dira funtzio supraiektiboa erabiliz.

Propietateak

Funtzio bat bijektiboa da baldin eta soilik baldin aldi berean supraiektibo eta injektiboa bada.

Eskumatik alderanzgarriak diren funtzio supraiektiboak

$g:Y⟶X$ funtzioa $f:X\to Y$ funtzioaren eskumako alderantzizkoa da baldin eta $f(g(y))=y$ bada $Y$-ko $y$ guztientzako. Bestela esanda, $g$ $f$-ren eskumako alderantzizkoa da baldin eta $f\circ g$ konposaketa $g$-ko $Y$ eremuaren identitate funtzioa bada. $g$ funtzioa $f$-ren erabateko alderantzizkoa izan behar da, haien konposizioa ordenaz aldatzean, $g\circ f$, gerta daiteke ez izatea $f$-ko $X$ eremuaren identitate funtzioa. Alegia, $f$-k $g$ alderantzikatu dezake, baina $g$-k ez du zertan $f$ alderantzizkatu.

Eskuatik alderanzgarriak diren funtzio guztiak supraiektiboak dira. Funtzio supraiektibo guztiak eskumatik alderanzgarriak direla esaten duen proposizioaren baliokidea hautaketa axioma da.

$f:X\to Y$ funtzio bat bada eta $B$ $Y$-ko azpimultzo bat, orduan $f(f$^$-1$$(B))=B$. Hortaz, $B$ berreskuratu ahal da bere $f$^$-1$$(B)$ aurreiruditik.

Nola frogatu

Funtzio bat supraiektiboa dela forgatu nahi badugu, definiziotik abiatuz frogatu daiteke. Baina, beste hainbat modu bisualagoak badaude propietate hau frogatzeko:

• Funtzioa nahiko sinplea bada irudikatzeko: Irudikatu funtzioa eta ikusi ordenatu ardatzeko (y) koeremuko balio guztiak hartzen dituen ikusi. Balio guztiak hartzen baditu, funtzioa supraiektiboa da, bestela, ez.
• Funtzioaren irudia (Im(f)) kalkulatu: Funtzio baten irudia kalkulatzearekin ere frogatu daiteke supraiektibotasuna. Funtzioaren irudia koeremu guztia "hartzen" badu, funtzioa supraiektiboa da. Koeremuko zenbakiren bat funtzioaren iruditik kanpo gelditzen bada, funtzioa ez da supraiektiboa.

Ikus, gainera

• Funtzio injektiboa
• Funtzio bijektiboa