Funtzioen konposaketa

g o f funtzio konposatua, berez, g eta f funtzioen aplikazio jarraituaren emaitza da. Adibidean (g o f)(a) = (@).

Aljebra abstraktuan, funtzio konposatua bi funtzioren konposaketaren edo aplikazio jarraituaren emaitza den funtzioa da. Funtzio konposatu baten iturburu-multzoa bera eratzerakoan aplikatu den lehen funtzioaren iturburu-multzoa da eta irudi-multzoa aldiz, aplikatu den azken funtzioaren irudi-multzoa. Funtzio konposatuak, oro har, ez dira trukakorrak eta propietate jakin batzuk betetzen dituzte. Funtzio konposatuaren funtzio-mota hura eratzeko erabili diren funtzio-moten araberakoa izango da.

Definizioa

Matematikoki adierazita, ondorengoa dugu:

Izan bitez

$f:A⟶B$

eta

$g:B⟶C$

funtzioak. f eta g-ren funtzio konposatu

$g\circ f$

honela definitzen da:

$g\circ f:A⟶C$

;

Non A f funtzioaren iturburu-multzoa den, B f funtzioaren irudi-multzoa eta g funtzioaren iturburu-multzoa eta C B funtzioaren iturburu-multzoa. Funtzio konposatuari g konposatu f deritzo.

Beraz, funtzio konposatu oro honela adieraz daiteke:

$(g\circ f)(x)=g(f(x))$ , non x barne A den.

Hori horrela, ondorengo moduan interpretatu daiteke funtzio konposatu baten aplikazioa:

$g\circ f:A⟶B⟶C$

$g\circ f:x\mapsto f(x)\mapsto g(f(x))$

Propietateak

Ondoko funtzioak ditugularik,

$f:A⟶B$, $g:B⟶C$ eta $h:C⟶D$

• Funtzioen konposaketa elkarkorra da. Hau da: $(h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f)=h\circ g\circ f$
• Funtzioen konposaketa ez da trukakorra. Hau da: $f\circ g\ne g\circ f$
• Identitate funtzioa eta funtzio baten arteko konposaketa funtzioa bera da. Hau da: $f\circ i{d}_A=f$
• Funtzio baten eta bere alderantzizkoaren arteko konposaketa identitate funtzioa da. Hau da: $f^{-1}\circ f=i{d}_A$
• Funtzio konposatu baten alderantzizkoa, funtzio konposatu hori osatzen duten funtzioen alderantzizkoen alderantzizko konposaketaren berdina da. Hau da: $(g\circ f{)}^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$
• Funtzio konposatuaren funtzio-mota konposatu diren funtzioen motaren araberakoa izango da:
  • $f$ eta $g$ funtzioak injektiboak badira, $g\circ f$ injektiboa izango da.
  • $f$ eta $g$ funtzioak supraiektiboak badira, $g\circ f$ supraiektiboa izango da.
  • $f$ eta $g$ funtzioak bijektiboak badira, $g\circ f$ bijektiboa izango da.

Adibidea

Izan bitez 2 funtzio:

$f(x)=x^2$

$g(x)=sin(x)$

Orduan, f eta g-ren funtzio konposatua, $g\circ f(x)=g(f(x))=g((x^2))=sin(x^2)$

Bestalde, $f\circ g(x)=f(g(x))=g((sin(x)))=si{n}^2(x)$

Ohartu, $g\circ f\ne f\circ g$ dela, hau da, funtzioen konposaketa ez da trukakorra.