Bijekzio

Funtzio bijektiboren adibide bat.

Matematikan, bijekzioa edo funtzio bijektiboa $f:X\to Y$ funtzio bat da, aldi berean injektiboa eta supraiektiboa dena; hau da, X multzoko elementu bakoitzari Y multzoko elementu bat dagokio, eta Y multzoko edozein y elementuri y = f(x) funtzioa beteko duen X multzoko x elementu bakarra dagokio.

Formalki,

$\mathrm{\forall }y\in Y:\mathrm{\exists }!x\in X,f(x)=y$

Aurrekoaren ondorio zuzena hau da: funtzio bijektibo batean abiaburu-multzoko edo Definizio-eremuaren kardinalitatea, eta helburu-multzoarena edo irudi-multzoarena, berbera da. Hori adibidean ikus daiteke, non |X|=|Y|=4 den.

Teorema

$f$ funtzio bijektiboa bada, orduan bere alderantzizko funtzioa $f^{-1}$ ere bijektiboa da.

Adibidea

Funtzio hau:

$f(x)=6x+9$

bijektiboa da.

Orduan, bere alderantzizkoa:

$f^{-1}(y)=\frac{y-9}{6}$

ere bada bijektiboa.

Diagrama honetan ikus daiteke noiz den bijektiboa funtzio bat:

Funtzioak	Injektiboa	Ez injektiboa
Supraiektiboa	Bijektiboa
Ez supraiektiboa

Konposaketa

Bi funtzio $f:X\to Y$ eta $g:Y\to Z$ bijektiboen konposaketa $f\circ g$ bijektiboa izango da ere bai. Bere alderantzizkoa $(f\circ g{)}^{-1}=(f^{-1})\circ (g^{-1})$ izango litzateke.

Adibideak

• Edozein X multzorako, identitate funtzioa bijektiboa da.
• $f:ℝ\to ℝ,f(x)=2x+1$ funtzioa bijektiboa da, $y$ bakoitzerako $x=(y-1)/2$ bakarra baitago. Orokorrean, edozein funtzio lineal $f:ℝ\to ℝ,f(x)=ax+b$ (non $a\ne 0$ den) funtzio bijektiboa da, $y$ zenbaki erreal bakoitzerako $x=(y-b)/a$ zenbaki erreal dago eta.
• $f:ℝ\to (\frac{-\pi }{2},\frac{\pi }{2}),f(x)=arctan(x)$ bijektiboa da, $x$ zenbaki erreal bakoitzak $(\frac{-\pi }{2},\frac{\pi }{2})$ interbaloko angelu batekin bat datorrelako. $(\frac{-\pi }{2},\frac{\pi }{2})$ irudi-multzoa handiagoa izango balitz $\frac{\pi }{2}$-ren multiploak barnean izateko, funtzioa ez litzateke supraiektiboa izango; izan ere, ez dago zenbaki errealik emaitza hau lortzeko funtzio honen bidez.
• Funtzio esponentziala, $f:ℝ\to ℝ,f(x)=e^x$, ez da bijektiboa, ez baitago $x\in ℝ$ non $f(x)=-1$ den, erakutsiz $f$ ez dela supraiektiboa. Hala ere, irudi-multzoa zenbaki positibo errealetara murrizten bada, bijektiboa izango litzateke.
• $f:ℝ\to {ℝ}^{+},f(x)=x^2$ funtzioa ez da bijektiboa. Adibidez, $f(-1)=f(1)=1$, injektiboa ez dela erakusten du. Dena den, abiaburu-multzoa erreal positiboetara murrizten bada, bijektiboa izango litzateke.

Kardinaltasuna eta bijektibitatea

Izan bitez A eta B bi multzo , eta horien artean $f:A\to B$ funtzio bijektibo bat existitzen da, kardinalak dituzte eta hau betetzen dute:

$card(A)=card(B)$

Ikus, gainera

• Funtzio injektiboa
• Funtzio supraiektiboa
• Bana-banako korrespondentzia

Kanpo estekak

• Txantiloi:En bijekzioa mathworld-en